对数の学习笔记(二)

对数可以是小数

考虑这样一个问题
$$
\lg(300)=?
$$
$10\times 10=100$

$10\times 10\times 10=1000$

不是太大就是太小qwq

两个不够,三个太大,那么
$$
两个半呢?
$$

半个乘

怎么做?平方根!
$$
\sqrt{10}\times\sqrt{10}=10
$$
我们试试乘两次半?
$$
10\times 10\times \sqrt{10}=10\times10\times3.16=316….
$$
离300很近所以我们可以说:四舍五入
$$
\lg(300)\approx2.5
$$

换句话说,把10和自己相乘两次半的结果是大约 300

(注意:用指数来表达是 $300\approx10^{2.5}$)

故此,对数不只是像 2 或 3 的整数:2.5也可以。

我们可以找更多的值(用立方根,四次方根等等),像 2.75 或 1.9055等等。

我们不需要用方根等等来计算找对数,因为

在现实世界里,还是用计算器比较方便!

对数和指数一起用

指数与对数互为”反函数”

我们来康这两个公式:
$$
\log_a(a^{x})=x
$$

$$
a^{\log_a(x)}=x
$$

举个荔枝:
$$
y=\log_4{(\frac{1}{4})}
$$
两边都用指数函数:
$$
4^{y}=4^{\log_4(\frac{1}{4})}
$$
化简:
$$
4^{y}=\frac{1}{4}
$$

$$
4^{y}=4^{-1}
$$

$$
y=-1
$$

指数定律

先复习一下qwq
$$
x^{1}=x
$$

$$
x^{0}=1
$$

$$
x^{-1}=\frac{1}{x}
$$

$$
x^{m}x^{n}=x^{m+n}
$$

$$
x^{m}\div x^{n}=x^{m-n}
$$

$$
(x^{m})^{n}=x^{mn}
$$

$$
xy^{n}=x^{n}y^{n}
$$

$$
x^{-n}=\frac{1}{x^{n}}
$$

$$
x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^{m}}=(\sqrt[n]{x})^{m}
$$

对数の特性

乘的对数是对数的和
$$
\log_a(m\times n)=\log_a(m)+\log_a(n)
$$
用这特性和指数定律,我们得到以下有用的特性:
$$
\log_a(m\div n)=\log_a(m)-\log_a(n)
$$

$$
\log_a(\frac{1}{n})=-\log_a(n)
$$

$$
\log_a(m^{p})=p(\log_a{m})
$$

  • 除乘的对数是对数的差

  • 这是以上”除”特性的结果,因为 $\log_a(1)=0$

  • $m$的$p$次幂的对数是$p$和$m$的对数的积

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