极限の学习笔记(一)

趋近

考虑这样一个式子

求当x=1的值:

$0\div0$不好做,我们要换种方法

我们不直接求$x=1$的值,我们趋近来康康

设$P=\frac{(x^{2}-1)}{(x-1)}$

X P
0.5 1.50000
0.9 1.90000
0.99 1.99000
0.999 1.99900
0.9999 1.99990
0.99999 1.99999
…. ….

当$x$越接近1时,$P$越来越接近2

我们想说:”答案就是 2”,但我们不能这样说,所以数学家用一个特别的名词来形容这种情况:”极限”

用符号表示就是:

趋近于无穷大

$\frac{1}{\infty}$的值是多少?

无解.它是未定义的.

但我们可以趋近它

X 1/x
1 1.00000
2 0.50000
4 0.25000
10000 0.00010
…. ….

我们想说答案是 “0”,但我们不可以,所以数学家用特定名词 “极限” 来表达这种情形:

用数学符号表达:

趋近无穷大时的极限

当x趋近于无穷大的时候,这个函数的极限是什么?

当x越大,2x也越大qwq

所以我们也可以这样写:

不要被这个 “=”号迷惑了!我们其实无法达到无穷大,但在 “极限” 的语言里,极限是无穷大 (意思其实是函数没有极限)

无穷大和次数

上面我们分析了两个例子,一个趋近 0,另一个趋近无穷大。

实际上,很多无穷大的极限是很容易求的,只要我们知道函数的 “走势”,像这样

  • 当 x 趋近无穷大时,像 1/x 的函数趋近 0 。像 $/x^{2}$ 等的函数也一样

  • x 的函数会趋近无穷大,2xx/9 等函数也一样。同样,含有 $x^{2}$或$x^{3}$等的函数也会趋近无穷大

  • 但要小心,函数 “−x“ 趋近 “负无穷大“,所以我们要留意 x 的正负号

例子: $2x^{2}-5$

  • $2x^{2}$趋近 +无穷大
  • $-5x$趋近 −无穷大
  • 但 $x^{2}$ 增加得比 x 快,所以$2x^{2}-5x$会趋近 +无穷大

如果我们留意函数的次数(函数里最高的指数),我们便可以知道答案:

如果函数的次数是:

  • 大于 0,极限是无穷大(或 −无穷大
  • 小于 0,极限是0

但是,如果次数是 0 或未知值,情形便会复杂一点。

0%