导数の学习笔记(一)

导数の定义

考虑函数

设增量为$\Delta x$,固定自变量为$x_0$

则函数值的变化量为

当中的$l$为常数

那么$l$就是$f(x)$在$x_0$的瞬时变化率

也就是导数

一般写作

下面给出严格的定义

设函数$y=f(x)$在$x0$及其附近有意义,如果$\lim\limits{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$存在,则称$f’(x)=\lim\limits{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$为函数$y=f(x)$在$x_0$处的导数

来道例题

已知$f(x)=2x^2+1$,求$f’(1)$

导函数の定义

每次我们求同一函数的导数,重复算太麻烦

所以我们可以定义一个函数

代入相应的$x$就出来导数的值

我们来康康严格的定义

如果$f(x)$在区间$(a,b)$上每一点$x$处都有导数,导数值记为$f^{‘}(x):f^{‘}(x)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \$,则构成一个关于$x$的新函数,我们把这个函数称为$f(x)$的导函数

$f’(x)$在$x_0$处的值,就是$x_0$的导数值$f’(x)$

常函数の导数

求函数$f(x)=c$的导数

推广一下~

常函数$f(x)=c$,$f’(x)=0$

一次函数の导数

求函数$f(x)=kx+b(k\ne0)$的导数

推广~

一次函数$f(x)=kx+b$,$f’(x)=k$

二次函数の导数

求函数$f(x)=ax^2+bx+c(k\ne0)$的导数

推广~

二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(k\ne0)$,$f’(x)=2ax+b$

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